Question

已知⊙O₁与⊙O₂相交于点A、B，AB=8，O₁O₂=2，⊙O₁的半径为5，那么⊙O₂的半径为    ．

Answer 1

【答案】分析：分两种情况考虑：当两圆心O₁与O₂位于公共弦AB两侧时，如图所示，由AB为两圆的公共弦，可得出两圆心的连线垂直平分AB，由AB的长求出AC的长，Rt△AO₁C中，由⊙O₁的半径及AC的长，利用勾股定理求出O₁C的长，而O₁C大于O₁O₂，矛盾，故此情况不成立；当两圆心O₁与O₂位于公共弦AB一侧时，如图所示，由AB为两圆的公共弦，可得出两圆心的连线垂直平分AB，由AB的长求出AC的长，Rt△AO₁C中，由⊙O₁的半径及AC的长，利用勾股定理求出O₁C的长，由O₁C-O₁O₂求出O₂C的长，在Rt△AO₂C中，根据O₂C及AC的长，根据勾股定理求出AO₂的长，即为⊙O₂的半径，综上，得到⊙O₂的半径．
解答：解：分两种情况考虑：
当两圆心O₁与O₂位于公共弦AB两侧时，如图所示：

∵AB为⊙O₁与⊙O₂的公共弦，
∴O₁O₂⊥AB，且C为AB的中点，
∵AB=8，∴AC=AB=4，
在Rt△AO₁C中，AO₁=5，AC=4，
根据勾股定理得：O₁C==3，
又O₁O₂=2＜3=O₁C，矛盾；
当两圆心O₁与O₂位于公共弦AB一侧时，如图所示：

∵AB为⊙O₁与⊙O₂的公共弦，
∴O₁O₂⊥AB，且C为AB的中点，
∵AB=8，∴AC=AB=4，
在Rt△AO₁C中，AO₁=5，AC=4，
根据勾股定理得：O₁C==3，
又O₁O₂=2，∴O₂C=O₁C-O₁O₂=3-2=1，
在Rt△AO₂C中，O₂C=1，AC=4，
根据勾股定理得：AO₂==，
综上，⊙O₂的半径为．
故答案为：
点评：此题考查了两圆相交的性质，涉及的知识有：勾股定理，以及连心线与公共弦的关系，利用了分类讨论及数形结合的数学思想，本题注意考虑两种情况，得出符合题意⊙O₂的半径．