Question

已知，点C在以AB为直径的半圆上，∠CAB的平分线AD交BC于点D，⊙O经过A、D两点，且圆心O在AB上．

（1）求证：BD是⊙O的切线．

（2）若，求⊙O的面积．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）证明：连接OD，

∵AB为直径，∴∠ACB=90°。

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD。

∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD。

∴∠ODA=∠CAD。∴OD∥AC。

∴∠ODB=∠ACB=90°。

∴BD是⊙O的切线。

（2）∵，∴AB=4AC。

∵BC²=AB²﹣AC²，，∴15AC²=80，解得AC=。

∴AB=4。

设⊙O的半径为r，

∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC。∴，即。

解得：r=。

∴πr²=π•（）²=。

∴⊙O的面积为。

【解析】

试题分析：（1）连接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ADO，推出OD∥AC，推出OD⊥CB，根据切线判定推出即可。

（2）根据勾股定理求出AC=，AB=4．设⊙O的半径为r，证△BOD∽△BAC，得出，代入求出r即可。