Question

如图，二次函数y=ax²+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）求证：四边形ACHD是正方形；

（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N．

①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；

②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．

 

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），

∴

解得

∴二次函数的表达式为y=﹣x²﹣2x+3．

（2）如图1，

，

∵二次函数的表达式为y=﹣x²﹣2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），

∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，

∴点G的坐标是（﹣1，4），

∵点C的坐标为（0，3），

∴设CG所在的直线的解析式是y=mx+3，

则﹣m+3=4，

∴m=﹣1，

∴CG所在的直线的解析式是y=﹣x+3，

∴点H的坐标是（3，0），

设点D的坐标是（0，p），

则，

∴p=﹣3，

∵AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，

∴四边形ACHD是正方形．

（3）①如图2，作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，

，

∵四边形ADCM的面积为S，

∴S=S_{四边形AOCM}+S_△AOD，

∵AO=OD=3，

∴S_△AOD=3×3÷2=4.5，

∵点M（t，p）是y=kx与y=﹣x²﹣2x+3在第二象限内的交点，

∴点M的坐标是（t，﹣t²﹣2t+3），

∵ME=﹣t²﹣2t+3，MF=﹣t，

∴S_{四边形AOCM}=×3×（﹣t²﹣2t+3）=﹣t²﹣t+，

∴S=﹣t²﹣t++4.5=﹣t²﹣t+9，﹣3＜t＜0．

②如图3，作NI⊥x轴于点I，

，

设点N的坐标是（t₁，p₁），

则NI=|t₁|，

∴S_△CMN=S_△COM+S_△CON=（|t|+|t₁|），

∵t＜0，t₁＞0，

∴S_△CMN=（|t|+|t₁|）==，

，

联立

可得x²﹣（k+2）x﹣3=0，

∵t₁、t是方程的两个根，

∴

∴=﹣4t₁t=（k+2）²﹣4×（﹣3）==，

解得，，

a、k=﹣时，

由x²+（2﹣）x﹣3=0，

解得x₁=﹣2，或（舍去）．

b、k=﹣时，

由x²+（2﹣）x﹣3=0，

解得x₃=﹣，或x₄=2（舍去），

∴t=﹣2，或t=﹣，

t=﹣2时，

S=﹣t²﹣t+9

=﹣×4﹣×（﹣2）+9

=12

t=﹣时，

S=﹣×﹣×+9

=，

∴S的值是12或．