Question

如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，⊙O的直径BD为6，连结CD，AO．
（1）求证：CD∥AO；
（2）求CD•AO的值；
（3）若AO=2CD，求劣弧BC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，求出∠COA=∠BOA，∠D=∠OCD，根据三角形外角性质求出∠D=∠BOA，根据平行线判定推出即可；
（2）证△BCD∽△ABO，得出比例式，代入求出即可；
（3）求出CD的值，得出等边三角形，求出∠COB度数，代入弧长公式求出即可．

解答：（1）证明：
连接OC，
∵AC、AB分别切⊙O于C、B，
∴∠ACO=∠ABO=90°，∠CAO=∠BAO，
∵∠COA+∠ACO+∠CAO=180°，∠BOA+∠BAO+∠OBA=180°，
∴∠COA=∠BOA，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠COA+∠BOA=∠OCD+∠ODC，
∴2∠ODC=2∠AOB，
即∠D=∠AOB，
∴CD∥AO．

（2）解：
连接BC，
∵BD是⊙O直径，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∵∠D=∠AOB，
∴△BCD∽△ABO，
∴

DC

DB

=

BO

AO

，
∴CD•AO=DB•BO=6×3=18．


（3）解：∵CD•AO=18，AO=2CD，
∴CD=3，
∵OC=3=OD=3，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
∴∠COB=120°，
∴弧BC的长是

120π•3

180

=2π．

点评：本题考查了相似三角形性质和判定，弧长公式，平行线的判定，等腰三角形性质，切线性质，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．