Question

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＜0，②b²-4ac＞0，③2a+b＞0，④a+b+c＜0，⑤ax²+bx+c=-2的解为x=0，其中正确的有________．

Answer 1

②③④
分析：由抛物线开口向上，得到a大于0，再由对称轴在y轴右侧得到a与b异号，可得出b小于，由抛物线与y轴交于负半轴，得到c小于0，可得出abc大于0，判断出选项①错误；由抛物线与x轴交于两点，得到根的判别式大于0；利用对称轴公式表示出对称轴，由图象得到对称轴小于1，再由a大于0，利用不等式的基本性质变形即可得到2a+b的正负；由图象可得出当x=1时对应二次函数图象上的点在x轴下方，即将x=1代入二次函数解析式，得到a+b+c的正负；由图象可得出方程ax²+bx+c=-2的解有两个，不只是x=0，选项⑤错误．
解答：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，且抛物线与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故选项①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，故选项②正确；
∵对称轴为直线x=-＜1，且a＞0，
∴2a+b＞0，故选项③正确；
由图象可得：当x=1时，对应的函数图象上的点在x轴下方，
∴将x=1代入得：y=a+b+c＜0，故选项④正确；
由图象可得：方程ax²+bx+c=-2有两解，其中一个为x=0，故选项⑤错误，
综上，正确的选项有：②③④．
故答案为：②③④
点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a的符合由抛物线的开口方向决定；b的符合由a的符合与对称轴的位置确定；c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定；抛物线与x轴交点的个数决定了b²-4ac的与0的关系；此外还有注意对于x=1、-1、2等特殊点对应函数值正负的判断．