Question

【题目】综合与实践：问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：已知，在菱形中，为对角线，，，将菱形绕顶点顺时针旋转，旋转角为（单位）.旋转后的菱形为.在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决.

（1）如图1，若旋转角，与相交于点，与相交于点.请说明线段与的数量关系；

（2）如图2，连接，菱形旋转的过程中，当与互相垂直时，的长为______；

（3）如图3，若旋转角为时，分别连接，，过点分别作，，连接，菱形旋转的过程中，发现在中存在长度不变的线段，请求出长度；

操作探究：（4）如图4，在（3）的条件下，请判断以，，三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）EF=2;（4），，三条线段为边的三角形是直角三角形，理由见解析

【解析】

（1）根据菱形的性质以及旋转的性质，证得,根据 证得，可以得到结论；

（2）根据菱形的性质及 条件与互相垂直，证明A、D、C在同一直线上，利用锐角三角函数求得对角线的长，即可求得结论；

（3）利用等腰三角形三线合一的性质，EF是的中位线，从而证明＝2；

（4）以为边向外作等边三角形，利用等边三角形的性质以及SAS证明，得到，把、、三条线段归结到一个三角形中，易证得是直角三角形，从而得到结论.

（1），理由如下：

∵四边形是菱形，∴.

∴.

由旋转的性质可得：，，，，

∴.

∴，

即.

在和中，

，

∴，∴.

（2）菱形AB'CD'中，B'D'＝AB ,∠B'AD'=60° ,

AB平分∠B'AD' （等腰三角形三线合一）,

∴∠BAD'=30°,

∵∠B_AD= 60°,

∴∠BAD'=∠D'AD=30°，

∴A 、D、C在同一直线上，

如图，菱形ABCD中, BD为对角线,∠BAD= 60°,AB＝4,

∴∠DAG=∠BAG=30°,AC=2AG

∴,

∴,

∴,

故答案为:

（3）如图，连接，由题可得：.

∵，

∴（等腰三角形三线合一），同理，

∴是的中位线，∴.

∵四边形是菱形，∴，

又∵，是等边三角形，

∴，∴.

（4）以，，三条线段为边的三角形是直角三角形，理由如下：

如图，以为边向外作等边三角形，连接，，

∵四边形是菱形，，

∴与是等边三角形，.

由（3）可知：与都是等腰三角形，

∴

.

∵与是等边三角形，

∴，，，

∴，∴.

在和中，

，

∴，

∴，，

∴.

∴是直角三角形，

即以，，三条线段长度为边的三角形是直角三角形.