Question

如图，?ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°，点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E．设AP=x，当x=

8

时，△ABP与△EBC相似．

Answer 1

分析：过点P作PG⊥BC于G，在直角△BPG中，根据勾股定理即可求得：BP．根据相似三角形对应边的比相等即可求得x的值．

解答：解：过点P作PG⊥BC于G
在Rt△BPG中，∠PGB=90°
∴BP=

BG2+PG2

=

(2 3 )2+(2+x)2

=

x2+4x+16

，
如果△ABP和△BCE相似∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB，
∴∠ABP=∠ECB
∴

AB

BP

=

EC

BC

即

4

x2+4x+16

=

6 x+6 ×2 7

6

解得 x1=8，x2=-

4

3

（不合题意，舍去）
∴x=8，
故答案为8．

点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等腰三角形的性质、三角形相似、解直角三角形、方程等知识．难度较大，有利于培养同学们钻研和探索的问题的精神