Question

已知：关于x的一元二次方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0，
（1）若m＞0，求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．

Answer 1

证明：（1）△=b²-4ac=[-2（2m-3）]²-4（4m²-14m+8）=8m+4，
∵m＞0，
∴8m+4＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．

（2）解：由求根公式得：
∵方程有两个整数根，
∴必须使为整数且m为整数．
又∵12＜m＜40，
∴25＜2m+1＜81．
∴5＜＜9．
令，∴m=
令，∴m=24
令，∴m=
∴m=24．
分析：（1）利用根的判别式来证明，△=[-2（2m-3）]²-4（4m²-14m+8）=8m+4，通过证明8m+4是正数来得到△＞0；
（2）利用求根公式求出x的值，用含m的代数式表示，为x=（2m-3）±，若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，那么2m+1必须是25--81之间的完全平方数，从而求出m的值．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用和利用求根公式解方程，要熟悉求根公式与根的判别式之间的关系．解题关键是把△转化成完全平方式与一个正数的和的形式，才能判断出它的正负性．
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
①二次项系数不为零；
②在有两个不相等的实数根的情况下必须满足△=b²-4ac＞0．