Question

如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点．
（1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；
（2）在（1）的条件下△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形．为什么？
（3）在（1）、（2）的条件下当BE+CF=

2

时，求证：AD=BD•CD．

Answer 1

分析：（1）在平行四边形的基础上，只需一组邻边相等或对角线互相垂直即可，故第一问可解；
（2）在菱形的基础上，则再有一角为直角，即为正方形；
（3）在（1）、（2）的条件下，可得四边形AEDF为正方形，即AD=

2

AE，再通过一系列转化即可．

解答：解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF为菱形，则只需一组邻边相等或对角线互相垂直即可，
∴当AD为∠BAC的平分线时，四边形AEDF为菱形．

（2）要使四边形AEDF为正方形，则只需在菱形的基础上，再加一角为直角即可，
故△ABC为直角三角形即可满足条件．

（3）由（1）、（2）可得，四边形AEDF为正方形，即
在直角三角形BED中，根据勾股定理得：BD²=BE²+DE²，同理CD²=DF²+CF²，
又AD=

2

AE=（BE+CF）•AE=BE•AE+CF•AE=BE•ED+CF•FD，
又（BE+ED）²=AB²，（CF+FD）²=AC²，
又三角形ABC中，根据勾股定理得：AB²+AC²=（BD+CD）²，即（BE+ED）²+（CF+FD）²=（BD+CD）²，
整理得：BE²+DE²+2BE•ED+DF²+CF²+2CF•FD=BD²+CD²+2BD•CD，即2（BE•ED+CF•FD）=2BD•CD，
∴BE•ED+CF•FD=BD•CD，即AD=BD•CD．

点评：本题主要考查菱形及正方形的判定问题，应熟练掌握此类问题，能够进行一些简单的计算．