Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．

（1）求OA、OB的长．
（2）若点E为x轴正半轴上的点，且S△AOE= ，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式，并判断△AOE与△AOD是否相似．
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方程x2﹣7x+12=0，

分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）=0，

可得：x﹣3=0，x﹣4=0，

解得：x1=3，x2=4，

∵OA＞OB，

∴OA=4，OB=3

（2）

解：根据题意，设E（x，0），则S△AOE= ×OA×x= ×4x= ，

解得：x= ，

∴E（ ，0），

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴点D的坐标是（6，4），

设经过D、E两点的直线的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得： ，

∴解析式为y= x﹣ ；

设反比例函数解析式为y= ，

把D（6，4）代入得：m=24，

∴反比例函数解析式为y= ；

在△AOE与△DAO中， = = ， = = ，

∴ = ，

又∵∠AOE=∠OAD=90°，

∴△AOE∽△DAO

（3）

解：AO⊥BC，

∴AO平分∠BAC，

分四种情况考虑：

①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，

∴点F与B重合，即F（﹣3，0）；

②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，

此时点F坐标为（3，8）；

③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=﹣ x+4，直线L过（ ，2），且k值为 （平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1），

∴L解析式为y= x+ ，

联立直线L与直线AB，得： ，

解得：x=﹣ ，y=﹣ ，

∴F（﹣ ，﹣ ）；

④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，

∵S△ABC= BCOA= ABCN=12，

∴CN= = ，

在△BCN中，BC=6，CN= ，

根据勾股定理得BN= = ，即AN=AB﹣BN=5﹣ = ，

做A关于N的对称点，记为F，AF=2AN= ，

过F做y轴垂线，垂足为G，FG=AFsin∠BAO= × = ，

∴F（﹣ ， ），

综上所述，满足条件的点有四个：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣ ，﹣ ）；F4（﹣ ， ）．

【解析】（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度即可；（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．