Question

如图，⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．

(1)求证：四边形OCPE是矩形；

(2)求证：HK＝HG；

(3)若EF＝2，FO＝1，求KE的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵AC＝BC，AB不是直径， 　　∴OD⊥AB，∠PCO＝90°(1分) 　　∵PE∥OD，∴∠P＝90°， 　　∵PE是切线，∴∠PEO＝90°，(2分) 　　∴四边形OCPE是矩形(3分) 　　(2)∵OG＝OD，∴∠OGD＝∠ODG 　　∵PE∥OD，∴∠K＝∠ODG(4分) 　　∵∠OGD＝∠HGK，∴∠K＝∠HGK， 　　∴HK＝HG(5分) 　　(3)∵EF＝2，OF＝1，∴EO＝DO＝3(6分) 　　∵PE∥OD，∴∠KEO＝∠DOE，∠K＝∠ODG 　　∴△OFD∽△EFK，(7分)∴EF∶OF＝KE∶OD＝2∶1， 　　∴KE＝6(8分)