Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有（　　）个

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Answer 1

【答案】A

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．

∵△AEF等边三角形，

∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．

∴∠BAE+∠DAF=30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF（故①正确）．

∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°，

即∠DAF=15°（故②正确），

∵BC=CD，

∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，

∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF．（故③正确）．

设EC=x，由勾股定理，得

EF=x，CG=x，

AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，

∴AC=，

∴AB=，

∴BE=﹣x=，

∴BE+DF=x﹣x≠x，（故④错误），

∵S△CEF=，

S△ABE==，

∴2S△ABE==S△CEF，（故⑤正确）．

综上所述，正确的有4个，

故选：A．