Question

在一组数据x₁，x₂，…，x_n中，各数据与它们的平均数

.

x

的差的绝对值的平均数，即T=

1

n

(|x1-

.

x

|+|x2-

.

x

|+…|xn-

.

x

|)叫做这组数据的“平均差”．“平均差”也能描述一组数据的离散程度．“平均差”越大说明数据的离散程度越大．因为“平均差”的计算要比方差的计算要容易一点，所以有时人们也用它来代替方差来比较数据的离散程度．极差、方差（标准差）、平均差都是反映数据离散程度的量．
一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的重量的离散程度，因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况；为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况，在能反映数据离散程度几个的量中某些值超标时就要捕捞；分开养殖或出售；他从两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得重量如下：（单位：千克）
A鱼塘：3、5、5、5、7、7、5、5、5、3
B鱼塘：4、4、5、6、6、5、6、6、4、4
（1）分别计算甲、乙两个鱼塘中抽取的样本的极差、方差、平均差；完成下面的表格：

	极差	方差	平均差
A鱼塘
B鱼塘

（2）如果你是技术人员，你会建议李大爷注意哪个鱼塘的风险更大些？计算哪些量更能说明鱼重量的离散程度？

Answer 1

分析：（1）根据极差的公式：极差=最大值-最小值，找出所求数据中最大的值，最小值，再代入公式求值；方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．
（2）利用极差与方差得出即可．

解答：解：（1）甲组数据中最大的值7，最小值3，故极差=7-3=4，

.

x

_甲=（3×2+6×5+2×7）÷10=5，
S²_甲=

(3-5) 2+(5-5) 2+…+(3-5) 2

10

=1.6，
T=

1

n

(|x1-

.

x

|+|x2-

.

x

|+…|xn-

.

x

|)=

1

10

（|3-5|+|5-5|+…+|3-5|）=0.8；
乙组数据中最大的值6，最小值4，故极差=6-4=2；

.

x

_乙=（4×4+6×4+5×2）÷10=5，
T=

1

n

(|x1-

.

x

|+|x2-

.

x

|+…|xn-

.

x

|)=

1

10

（|4-5|+|4-5|+…+|4-5|）=0.8；
S²_乙=[（4-5）²+（4-5）²+（5-5）²+（6-5）²+（6-5）²+（5-5）²+（6-5）²+（6-5）²+（4-5）²+（4-5）²]÷10=0.8，
∵S²_甲＜S²_乙；
 

	极差	方差	平均差
A	4	1.6	0.8
B	2	0.8	0.8

（2）根据A，B的极差与方差可以得出A鱼塘风险更大．极差与方差更能说明鱼重量的离散程度

点评：此题主要考查了方差与极差以及平均差的求法，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．