题目内容

如图，直线 $数学公式$ 与x轴、y轴的交点分别为A、B，点M在线段AB上，且AM=6，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿x轴向点A运动（点P与点O、A 均不重合）．设点P运动t秒时，△APM的面积为S．
（1）求S与t之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）在运动过程中，是否存在S= $数学公式$ 的情形？若存在，请判断此时△APM的形状，并说明理由；若不存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，当△APM为等腰三角形时，求t的值．

解：（1）过M作MD⊥OA于D，如图，

令x=0，y=5；令y=0，x=12，
∴OA=12，OB=5，
∴AB=13，
∵MD∥OB，
∴Rt△AMD∽Rt△ABO，
∴MD：OB=AD：AO=AM：AB，
而AM=6，
∴MD= $\text{[math]}$ ，AD= $\text{[math]}$ ，
又OP=2t，则PA=12-2t，
∴S= $\text{[math]}$ MD•PA= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •（12-2t）=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （0＜t＜6）；

（2）存在S= $\text{[math]}$ 的情形，此时△APM为直角三角形．理由如下：
∵- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴t= $\text{[math]}$ ，
∴PA=12-2t=12-2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AP：AB=AM：AO=1：2，
而∠PAM=∠BAO，
∴△APM∽△ABO，
∴∠AMP=∠AOB=90°，
即△APM是以AP为斜边的直角三角形；

（3）当MP=MA，
∴DP=DA，即AP=2AD，
∴12-2t= $\text{[math]}$ ×2，
∴t= $\text{[math]}$ ；
当AM=AP，
∴12-2t=6，
∴t=3；
当PA=PM，

过P作PC⊥MA于C，如右图，
∴AC=MC=3，
∵Rt△APC∽Rt△ABO，
∴PA：AB=AC：AO，即PA：13=3：12，
∴PA= $\text{[math]}$ ，
∴12-2t= $\text{[math]}$ ，
∴t= $\text{[math]}$ ；
所以△APM为等腰三角形时，t的值为 $\text{[math]}$ 秒或3秒或 $\text{[math]}$ 秒．
分析：（1）过M作MD⊥OA于D，先通过一次函数的解析式求得A与B的坐标，得到OA，OB和AB的长；易证得Rt△AMD∽Rt△ABO，通过相似比可求出MD= $\text{[math]}$ ，AD= $\text{[math]}$ ，而PA=12-2t，再根据三角形的面积公式得到S与t之间的函数关系式；
（2）由S= $\text{[math]}$ 和（1）的函数关系得到- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解方程得到t的值，得到PA的长，根据三角形相似的判定得到△APM∽△ABO，则∠AMP=∠AOB=90°；
（3）分类讨论：利用等腰三角形的性质得到线段相等，建立关于t的方程．当MP=MA，则AP=2AD，12-2t= $\text{[math]}$ ×2；当AM=AP，则12-2t=6；当PA=PM，过P作PC⊥MA于C，
易得Rt△APC∽Rt△ABO，则PA：AB=AC：AO，得到PA= $\text{[math]}$ ，则12-2t= $\text{[math]}$ ，分别解方程即可．
点评：本题考查了一次函数与三角形相似的综合运用：利用一次函数确定线段的长度，根据三角形相似的判定与性质建立函数关系和方程．也考查了等腰三角形的性质以及分类讨论思想的运用．

练习册系列答案

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如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）将直线AB绕原点O沿逆时针方向旋转90°得到直线A₁B₁
请在《答题卡》所给的图中画出直线A₁B₁，此时直线AB与A₁B₁的位置关系为

（填“平行”或“垂直”）；
（2）设（1）中的直线AB的函数表达式为y₁=k₁x+b₁，直线A₁B₁的函数表达式为y₂=k₂x+b₂，则k₁•k₂=

．

如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，且OA=OB=1，点P是反比例函数y=

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上是否存在点P，使点P到直线AB的距离最短的点，若存在，请求出点P的坐标及最短距离；若不存在，说明理由

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如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．
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垂直

（填“平行”或“垂直”）
（2）设（1）中的直线AB的函数表达式为y₁=k₁x+b₁，直线A₁B₁的函数表达式为y₂=k₂x+b₂，则k₁•k₂=

-1

．

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(1)写出A、B、C三点的坐标，并求抛物线的解析式；（5分）
(2) 当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标；（3分）
(3)连结PC、PB，△PBC是否有最大面积？若有，求出△PBC的最大面积和此时P点的坐标；若没有，请说明理由。（3分）

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