题目内容
如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂线AE分别与BD及BC的延长线交于点E，F，且CF：CB=1：2．（1）求ED：EB的值；
（2）设DB=x，AF=y，求y关于x的函数关系式．
分析：（1）先根据CF：CB=1：2求出BC：BF的值，再根据△ADE∽△BFE，其对应边成比例解答即可．
（2）根据（1）求出的△ADE∽△BFE，
=
=
，可求出AB及BF的长，再根据勾股定理即可求出x、y的函数关系式．
（2）根据（1）求出的△ADE∽△BFE，
| ED |
| EB |
| BC |
| BF |
| 2 |
| 3 |
解答：解：（1）∵CF：CB=1：2，
∴BC：BF=2：3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠ADB=∠DBF，∠BFA=∠DAE，
∴△ADE∽△FBE，
∴
=
，即
=
=
．
（2）由（1）△ADE∽△BFE，
=
，
可设DE=
x，BE=
x，EF=
y，
由射影定理可求出AB2=BE•BD，
即AB2=
x•x=
x2，BF2=EF•AF=
y2，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，AF2=AB2+BF2，
即y2=
x2+
y2，2y=3x．
∴BC：BF=2：3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠ADB=∠DBF，∠BFA=∠DAE，
∴△ADE∽△FBE，
∴
| AD |
| BF |
| ED |
| EB |
| BC |
| BF |
| ED |
| EB |
| 2 |
| 3 |
（2）由（1）△ADE∽△BFE，
| ED |
| EB |
| 2 |
| 3 |
可设DE=
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
由射影定理可求出AB2=BE•BD，
即AB2=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
在Rt△ABF中，由勾股定理得，AF2=AB2+BF2，
即y2=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
点评：此题比较复杂，解答此特的关键是熟练掌握相似三角形、矩形、直角三角形的性质等相关概念．
练习册系列答案
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| ||
| B、a≥b | ||
C、a≥
| ||
| D、a≥2b |
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