Question

如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，DE⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM．有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④S_△AND：S_{四边形CNFB}=2：5．其中正确结论的个数为（　　）

A．1 个

B．2 个

C．3 个

D．4 个

Answer 1

分析：①由正方形ABCD中，DE⊥CE，即可得AD=DC，∠DAF=∠CDE=90°，∠ADF=∠DCE，然后根据ASA即可得出△ADF与△DCE全等；
②由①易得AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN这三个条件，得出△ANF≌△ANE，即可得出结论．
③由AB∥CD，可得△DCN∽△FNA，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
④首先连接CF，再设S_△ANF=a，由③即可得出S_△ADN与S_{四边形CNFB}的比值即可．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠DAF=∠CDE=90°，
∴∠DEC+∠DCE=90°，
∵DE⊥CE，
∴∠DEC+∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF和△DCE中，

∠ADF=∠DCE AD=DC ∠DAF=∠CDE

，
∴△ADF≌△DCE（SAS）；
故①正确；
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中

AE=AF ∠NAF=∠NAE AN=AN

，
∴△ANF≌△ANE（SAS），
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN=FN错误，
故②错误；
∴AF=DE，
∵E为AD的中点，
∴AF=

1

2

AB=

1

2

CD，
∵AB∥CD，
∴△DCN∽△FNA，
∴CD：AF=CN：AN=2：1，
∴CN=2AN，
故③正确；
连接CF，
设S_△ANF=a，
则S_△ACF=3a，S_△ADN=2a，
∴S_△ACB=6a，
∴S_{四边形CNFB}=5a，
∴S_△ADN：S_{四边形CNFB}=2：5，
故④正确．
故选C．

点评：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．