题目内容

已知抛物线y=x²-x-2．
（1）求抛物线顶点M的坐标；
（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=x²-x-2=（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
∴顶点M的坐标为 $\text{[math]}$ ．

（2）抛物线与y=x²-x-2与x轴的两交点为A（-1，0），B（2，0），
设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ；
∴线段BM所在直线的解析式为 $\text{[math]}$ ，
设点N的坐标为（x，-t）．
∵点N在线段BM上，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴S_{四边形NQAC}=S_△AOC+S_梯形OQNC
= $\text{[math]}$ ．
∴S与t之间的函数关系式为 $\text{[math]}$ ，自变量t的取值范围为 $\text{[math]}$ ．

（3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则 $\text{[math]}$ 且n=m²-m-2；
PA²=（m+1）²+n²，PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，
分以下几种情况讨论：
①若∠PAC=90°，则PC²=PA²+AC²．
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，m₂=-1；
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
②若∠PCA=90°，则PA²=PC²+AC²
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，m₄=0，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，
所以边AC的对角∠APC不可能是直角，
∴存在符合条件的点P，且坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将已知的抛物线解析式化为顶点坐标式，即可求出抛物线顶点M的坐标．
（2）根据抛物线的解析式可求出A、B、C三点的坐标，进而可求出直线BM的解析式，已知了QN=t，即N点纵坐标为-t，代入直线BM的解析式中，可求得Q点的横坐标即OQ得长，分别求出△OAC、梯形QNCO的面积，它们的面积和即为所求的四边形QNCO的面积，由此可求出S、t的函数关系式．
（3）根据函数的图象及A、C的位置，可明显的看出∠APC不可能是直角，因此此题要分两种情况讨论：
①∠PAC=90°，设出点P的坐标，然后表示出AC²、PA²、PC²的值，根据勾股定理可得到关于P点横、纵坐标的等量关系式，联立抛物线的解析式，即可求出此时点P的坐标；
②∠PCA=90°，解法同①．
点评：此题是二次函数的综合题，考查了二次函数顶点坐标及函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、直角三角形的判定、勾股定理等知识，要注意的是（3）题一定要根据不同的直角顶点分类讨论，以免漏解．