Question

【题目】附加题：

（1）．填空：请用文字语言叙述勾股定理的逆定理：__________．

勾股定理的逆定理所给出的判定一个三角形是直角三角形的方法，和学过的一些其它几何图形的判定方法不同，它通过计算来判断．实际上计算在几何中也是很重要的，从数学方法这个意义上讲，我们学习勾股定理的逆定理，更重要的是拓展思维，进一步体会数学中的各种方法．

（2）．阅读：小明在学习勾股定理后，尝试着利用计算的方法进行论证，解决了如下问题：

如图中，，是的中点，于，请说明三条线段、、总能构成一个直角三角形．

证明：设，，，，

∵是的中点，∴，

在中，，

在中，，

消去，得，从而，，

又因为在中，，

消去得，消去，所以，即．

所以，三条线段、、总能构成一个直角三角形．

可见，计算在几何证明中也是很重要的．小明正是利用代数中计算、消元等手段，结合相关定理来论证了几何问题．

（3）．解决问题：在矩形中，点、、、分别在边、、、上，使得，求证：四边形是平行四边形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：

（1）用文字语言叙述出勾股定理的逆定理即可；

（3）如图，设AM=a，BM=b，PC=c，PD=d，结合已知可得：，，， ；由四边形ABCD是矩形可得AB=CD，AD=BC即可列出两个关于a、b、c、d的等式，把等式变形即可证得a=c，b=d，从而可得AM=CP，BM=PD，AQ=CN，DQ=BN，再证△AMQ≌△CPN，△BMN≌△DPQ，即可证得MQ=PN，MN=PQ，从而可得四边形MNPQ是平行四边形.

试题解析：

1．勾股定理的逆定理内容为：如果一个三角形的三边长，，，满足，

那么这个三角形是直角三角形．

3．设，，，，

则，，，，

∵ 四边形为矩形，

∴ ，，

∴ ，

整理得：，

化简②得：，

，

，

，

，

，

∵ ，

∴ ，即a=c，

∴ b-d=c-a=0，

∴ ，

∴ AM=CP，BM=PD，AQ=CN，DQ=BN，

又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

∴△AMQ≌△CPN，△BMN≌△DPQ，

∴ ，，

∴ 四边形是平行四边形．