Question

已知：关于x的一元二次方程kx²﹣（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），设y=x₂﹣x₁，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．

专题：证明题．

分析：（1）根据一元二次方程定义得k≠0，再计算△=（4k+1）²﹣4k（3k+3），配方得△=（2k﹣1）²，而k是整数，则2k﹣1≠0，得到△=（2k﹣1）²＞0，根据△的意义即可得到方程有两个不相等的实数根；

（2）先根据求根公式求出一元二次方程kx²﹣（4k+1）x+3k+3=0 的解为x=3或x=1+，而k是整数，x₁＜x₂，则有x₁=1+，x₂=3，于是得到y=3﹣（1+）=2﹣．

解答：（1）证明：k≠0，

△=（4k+1）²﹣4k（3k+3）

=（2k﹣1）²，

∵k是整数，

∴k≠，2k﹣1≠0，

∴△=（2k﹣1）²＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：y是k的函数．

解方程得，x==，

∴x=3或x=1+，

∵k是整数，

∴≤1，

∴1+≤2＜3．

又∵x₁＜x₂，

∴x₁=1+，x₂=3，

∴y=3﹣（1+）=2﹣．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了利用公式法解一元二次方程．