Question

如图，在直径为10的半圆AB上有两个动点C，D，弦AC、BD相交于点P，连接OP．
（1）若BD=8，试求出圆心O到弦BD的距离OE的长度；
（2）试比较∠OPA和∠OPB的大小；（只写结论，不需证明）
（3）试求出AP•AC+BP•BD的值．

Answer 1

解：（1）∵OE⊥BD
∴（1分）（3分）

（2）①若AC＜BD，∠OPA＞∠OPB
②若AC=BD，∠OPA=∠OPB
③若AC＞BD，∠OPA＜∠OPB

（3）连接AD，过P作PM⊥AB，垂足为M
则有∠ADB=∠PMB=90°，

又∠DBA=∠PBM
∴△ABD∽△PBM（11分）
∴
同理有
∴AP•AC=AB•AMBP•BD=AB•MB

∴AP•AC+BP•BD=AB•AM+AB•MB
=AB（AM+MB）
=AB²=100

分析：（1）构造直角三角形利用勾股定理求得OE的长即可；
（2）根据弦的大小关系判断弦所对的圆心角的大小关系即可，注意分类讨论．
（3）连接AD，过P作PM⊥AB，垂足为M证得△ABD∽△PBM后即可得到答案．
点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，题目中应用到了分类讨论思想．