Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，∠B=60°，DE⊥AC于点E，已知该梯形的高为．
（1）求证：∠ACD=30°；
（2）求DE的长度．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AB=CD=AD，
∴∠DAC=∠DCA，∠DCB=∠B=60°，
∴∠DCA=∠BCA，
∴∠ACD=30°；

（2）解：作DG⊥BC于G点，
∵∠B=60°，梯形的高为，
∴DC=DG÷sin∠DCG=÷=2，
∴DE=DC×sin∠ACD=2×=1．
∴DE的长为1．
分析：（1）利用梯形的两底平行和等腰三角形的性质可以得到AC平分∠DCB，从而得证；
（2）利用30°的角所对的直角边是斜边的一半和DC的长即可求得DE的长．
点评：本题考查了等腰梯形的性质及解直角三角形的知识，解题的关键是正确的利用等腰梯形的性质．