题目内容
已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（-3m，0）（m≠0）．（1）证明4c=3b2；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．
分析：（1）由根与系数关系得出等式，消去m，得出b、c的关系式；
（2）根据对称轴公式可求系数b，代入（1）的结论可求c，可确定二次函数解析式，再求函数的最小值．
（2）根据对称轴公式可求系数b，代入（1）的结论可求c，可确定二次函数解析式，再求函数的最小值．
解答：（1）证明：依题意，m，-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=m+（-3m）=-b，x1•x2=m（-3m）=-c，
∴b=2m，c=3m2，
∴4c=3b2=12m2；
（2）解：依题意，-
=1，即b=-2，
由（1）得c=
b2=
×(-2)2=3，
∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴二次函数的最小值为-4．
根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=m+（-3m）=-b，x1•x2=m（-3m）=-c，
∴b=2m，c=3m2，
∴4c=3b2=12m2；
（2）解：依题意，-
| b |
| 2 |
由（1）得c=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴二次函数的最小值为-4．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与一元二次方程根与系数关系的联系，待定系数法求二次函数解析式的方法．
练习册系列答案
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已知二次函数y=x2+（2a+1）x+a2-1的最小值为0，则a的值是（ ）
A、
| ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、-
|
已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为（ ）| A、x1=1，x2=3 | B、x1=0，x2=3 | C、x1=-1，x2=1 | D、x1=-1，x2=3 |
已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．