Question

根据图（1）所示的程序，得到了y与x的函数，其图象如图（2）所示．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．以下结论：
①x＜0时，y=-

2

x

；
②x＜0时，y随x的增大而减小；
③PQ=3PM；
④∠POQ可以等于90°；
则其中正确结论有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：当x小于0时，根据如图所示的程序框图列出y与x的关系式为y=-

2

x

，此时函数为增函数，y随x的增大而增大，当x大于0时，根据如图所示的程序框图列出y与x的关系式为y=

4

x

，此时函数为减函数，y随x的增大而减小，设P（a，b），Q（c，d），分别代入各自解析式，得到ab与cd的值，进而确定出三角形POM与三角形QOM的面积，求出面积之比，两三角形的高为OM，利用三角形面积公式得到PM与QM之比，即可得到PQ与PM的关系，作出判断；设PM=-a，表示出OM，分别利用勾股定理表示出OP与OQ，假设三角形POQ为直角三角形，利用勾股定理列出方程，此方程有实数解，可得出假设正确，∠POQ可以等于90度，即可得到正确选项的个数．

解答：解：x＜0，y=-

2

x

，∴故选项①正确；
当x＜0时，y=-

2

x

，y随x的增大而增大；当x＞0时，y=

4

x

，y随x的增大而减小，
选项②错误；
设P（a，b），Q（c，d），
分别代入解析式得：ab=-2，cd=4，
∴S_△OPM=

1

2

|ab|=1，S_△OQM=

1

2

|cd|=2，
∴S_△OPM：S_△OQM=1：2，OM分别为PM、QM边上的高，
∴PM：QM=1：2，即QM=2PM，
∴PQ=3PM，故选项③正确；
设PM=-a，则OM=-

2

a

，
则P0²=PM²+OM²=（-a）²+（-

2

a

）²=（-a）²+

4

a2

，QO²=MQ²+OM²=（-2a）²+（-

2

a

）²=4a²+

4

a2

，
当PQ²=PO²+QO²=（-a）²+

4

a2

+4a²+

4

a2

=5a²+

8

a2

=9a²，
整理得：

8

a2

=4a²，
∴a⁴=2，
∵a有解，∴∠POQ=90°可能存在，故选项④正确；
故正确的有①③④，共3个．
故选C

点评：主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键．