Question

已知关于x的一元二次方程mx²=2（1-m）x-m的两实数根为x₁，x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）若m＞0，设y=x₁+x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

Answer 1

解：（1）∵关于x的一元二次方程mx²=2（1-m）x-m的两实数根为x₁，x₂，
∴m≠0，且△=b²-4ac=[-2（1-m）]²-4m²=4（1-2m）≥0，
1-2m≥0，
∴m≤且m≠0；

（2）∵x₁，x₂为mx²=2（1-m）x-m的两根，
∴y=x₁+x₂==-2，
又∵0＜m≤；
∴y随m的增大而减小，
∴当m=时，y取最小值，此时y=4-2=2．
分析：（1）由于关于x的一元二次方程mx²=2（1-m）x-m的两实数根为x₁，x₂，所以二次项系数m≠0，并且方程的判别式△≥0，由此求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x₁+x₂的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及反比例函数的性质，综合性较强，难度中等．牢记反比例函数的性质是解答（2）题的关键．