题目内容

方程组 $数学公式$ 的所有正整数解是________．

$\text{[math]}$
分析：首先根据题目已知条件 $\text{[math]}$ 与x、y、z为正整数，首先确定x的取值，再就x的各种情况进行讨论．得到最终结果．
解答：∵ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$
∵（y-z）²≥0?2yz≤y²+z²?2yz+y²+z²=2（y²+z²）?（y+z）²≤2（y²+z²）
∴（y+z）²=（6x-20）²≤2（y²+z²）=2（1979-x²）
于是（6x-20）²≤2（1979-x²）≤2×1978＜63²
注解到不等式（y+z）²≤2（y²+z²）有（y+z）²=（6x-20）²≤2（y²+z²）=2（1979-x²），
于是（6x-20）²≤2（1979-x²）≤2×1978＜63²，即-63＜6x-20＜63
又∵y+z=6x-20是正整数
∴0＜6x-20＜63，即 $\text{[math]}$ ，从而4≤x≤13．
再由y+z为偶数，从而y²+z²为偶数，x²为奇数，进而x为奇数．
∴x=5，7，9，11，13
①当x=5时， $\text{[math]}$ ，显然y、z正整数解不存在．
②当x=7时， $\text{[math]}$ ，显然y、z正整数解不存在．
③当x=9时， $\text{[math]}$ ，显然y、z正整数解不存在．
④当x=11时，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ；
⑤当x=13时，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题考查高次方程，解题本题的突破口是首先确定x的取值范围．