Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是∠BAC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．

  （1）求证：AC＝AE；

  （2）求△ACD外接圆的直径．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB＝90°，  ∴AD为直径．   ……………………  1分

又∵AD是△ABC的角平分线，∴，∴ ，………… 2分

∴在同一个⊙O中，AC＝AE       ………………………  3分

  （2）解：∵AC=5，CB=12，∴AB=，…  4分

∵AE=AC=5，∴BE=AB-AE=13-5=8，   ………………………  5分

∵AD是直径，∴∠AED=∠ACB=90°，………………………6分

∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBE ，        …………………… 7分

∴，∴ DE＝ ，     …………………………… 8分

∴AD＝ ………………  9分

∴△ACD外接圆的直径为．………  10分