Question

（2013•工业园区模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8．BC=11，AB=3

3

，等边△PQR的边长为2，边PQ与BC重合．将等边△PQR以每秒1个单位长的速度沿BC方向匀速移动，移动开始前点P与点B重合，在移动过程中，边PQ始终与边BC重合；连结AP、AR、DQ、DR，设移动的时间是t秒（0≤t≤9）．请你探究以下问题：

（1）当t为何值时，点P、R、D在一直线上？
（2）当t为何值时，AR与DR垂直？
（3）直接写出当t为何值时△APR的面积与△DQR的面积相等．

Answer 1

分析：（1）D作DE⊥BC于E，得出四边形ABED是矩形，求出AD=BE=8，AB=DE=3

3

，EC=3，在Rt△DEC中，由勾股定理求出DC=6，得出△DPC是等边三角形，求出CP=CD=6，即可求出答案；
（2）过R作HG⊥AD，交AD于H，交BC于G，求出RG=

3

，证△AHR∽△RHD，得出RH²=AH×DH，求出HG=AB=3

3

，BG=AH=t+1，DH=7-t，RH=2

3

，代入得出方程，求出方程的解即可；
（3）当t=3时，△APR的面积与△DQR的面积相等，证出△APR≌△DQR，即可得出答案．

解答：解：（1）如图1，过D作DE⊥BC于E，
∵∠B=90°，
∴∠DEC=∠B，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD=BE=8，AB=DE=3

3

，
∴EC=11-8=3，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC=6，
∴∠C=60°，
当P、R、D在一条直线上时，
∵△RPQ是等边三角形，
∴∠DPC=60°=∠C，
∴△DPC是等边三角形，
∴CP=CD=6，
∴BP=11-6=5，
∴当t=5时，点P、R、D在一条直线上；

（2）如图2，过R作HG⊥AD，交AD于H，交BC于G，
则HG⊥PQ，
∵△PRQ是等边三角形，
∴RP=RQ，
∴PG=GQ=1，由勾股定理得：RG=

3

，
∵AR⊥DR，RH⊥AD，
∴∠ARD=∠AHR=∠DHR=90°，
∴∠HAR+∠ARH=90°，∠ARH+∠DRH=90°，
∴∠HAR=∠DRH，
∵∠AHR=∠DHR，
∴△AHR∽△RHD，
∴

RH

DH

=

AH

RH

，
∴RH²=AH×DH，
∵∠B=90°，HG⊥BC，
∴AB∥HG，
∵AD∥BC，
∴四边形ABGH是矩形，
∴HG=AB=3

3

，BG=AH=t+1，DH=8-（t+1）=7-t，RH=3

3

-

3

=2

3

，
∴（2

3

）²=（t+1）（7-t），
t=1，t=5，
即当t=1或5时，AR和DR垂直；

（3）当t=3时，△APR的面积与△DQR的面积相等，
理由是：如图3，
∵∠B=90°，AB=3

3

，BP=3×1=3，
∴由勾股定理得：AP=6，∠APB=60°，
∵BP=3，PQ=2，BC=11，CD=6，
∴CQ=11-3-2=6=CD，
∵∠C=60°，
∴△CDQ是等边三角形，
∴DQ=CD=6，∠DQC=60°，
∴AP=QD，
∵△RPQ是等边三角形，
∴RP=RQ=2，∠RPQ=∠RQP=60°，
∴∠RPB=∠PQC=120°，
∴∠APR=∠DQR=120°-60°=60°，
∵在△APR和△DQR中

AP=DQ ∠APR=∠DQR PR=QR

∴△APR≌△DQR（SAS），
∴S_△APR=S_△DQR，
即当t=3时，△APR的面积与△DQR的面积相等．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．