题目内容

已知a²+b²=1， $数学公式$ ，求a+b+ab的取值范围．

解：∵a²+b²=（a+b）²-2ab，a²+b²=1，
∴ab= $\text{[math]}$ ，
设a+b=t，则- $\text{[math]}$ ≤t≤ $\text{[math]}$ ，
∴y=a+b+ab= $\text{[math]}$ +a+b= $\text{[math]}$ （t²-1）+t= $\text{[math]}$ t²+t- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （t+1）²-1，
∴t=-1时，y有最小值为-1，
t= $\text{[math]}$ 时，y有最大值，此时y= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +1）²-1= $\text{[math]}$ ，
∴-1≤y≤ $\text{[math]}$ ，
即a+b+ab的取值范围为-1≤a+b+ab≤ $\text{[math]}$ ．
分析：由a²+b²=（a+b）²-2ab，a²+b²=1得到ab= $\text{[math]}$ ，设a+b=t，则- $\text{[math]}$ ≤t≤ $\text{[math]}$ ，于是得到=a+b+ab= $\text{[math]}$ +a+b= $\text{[math]}$ （t²-1）+t，配成顶点式为y= $\text{[math]}$ （t+1）²-1，根据二次函数的最值问题和性质得到t=-1时，y有最小值为-1；t= $\text{[math]}$ 时，y有最大值，此时y= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +1）²-1，由此得到a+b+ab的取值范围．
点评：本题考查了二次函数的最值问题：先把二次函数配成顶点式：y=a（x-h）²+k，当a＜0时，x=h，y有最大值k；当a＞0，x=h，y有最小值k．也考查了二次函数的性质．