Question

已知：如图，△ABC是边长3 cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t(s)，解答下列问题：

(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

(2)设四边形APQC的面积为y(cm²)，求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；

(3)设PQ的长为x(cm)，试确定y与x之间的关系式．

Answer 1

答案：
解析：

解： 　　⑴答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．…………………4分 　　根据题意：AP＝tcm，BQ＝tcm． 　　△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°， 　　∴BP＝(3－t)cm． 　　△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t， 　　若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°． 　　当∠BQP＝90°时，BQ＝BP． 　　即t＝(3－t)， 　　t＝1(秒)． 　　当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ． 　　3－t＝t， 　　t＝2(秒)． 　　⑵过P作PM⊥BC于M． 　　Rt△BPM中，sin∠B＝， 　　∴PM＝PB·sin∠B＝(3－t)． 　　∴S△PBQ＝BQ·PM＝·t·(3－t)． 　　∴y＝S△ABC－S△PBQ 　　＝×32×－·t·(3－t) 　　＝． 　　∴y与t的关系式为：y＝．…………………6分 　　假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的， 　　则S四边形APQC＝S△ABC． 　　∴＝××32×． 　　∴t2－3t＋3＝0． 　　∵(－3)2－4×1×3＜0， 　　∴方程无解． 　　∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．……8分 　　⑶在Rt△PQM中， 　　MQ＝＝． 　　MQ2＋PM2＝PQ2． 　　∴x2＝[(1－t)]2＋[(3－t)]2 　　＝ 　　＝＝3t2－9t＋9．……………………………10分 　　∴t2－3t＝． 　　∵y＝， 　　∴y＝＝＝． 　　∴y与x的关系式为：y＝．……………………………12分