Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD为直径作⊙O₁，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2），B（-2，0）．
（1）求C，D两点的坐标．
（2）求证：EF为⊙O₁的切线．
（3）探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：连接DE，∵CD是⊙O₁的直径，
∴DE⊥BC，
∴四边形ADEO为矩形．
∴OE=AD=2，DE=AO=2．
在等腰梯形ABCD中，DC=AB．
∴CE=BO=2，CO=4．
∴C（4，0），D（2，2）；

（2）证明：连接O₁E，在⊙O₁中，O₁E=O₁C，
∠O₁EC=∠O₁CE，
在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB．
∴O₁E∥AB，
又∵EF⊥AB，
∴O₁E⊥EF．
∵E在⊙O₁上，
∴EF为⊙O₁的切线

（3）解法一：存在满足条件的点P．
如右图，过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM，
在矩形OMPN中，ON=PM，
设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，
tan∠ABO=．
∴∠ABO=60°，
∴∠PCN=∠ABO=60°．
在Rt△PCN中，
cos∠PCN=，
即，
∴x=．
∴PN=CN•tan∠PCN=（4-）•=．
∴满足条件的P点的坐标为（，）．

解法二：存在满足条件的点P，
如右图，在Rt△AOB中，AB=．
过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM，
在矩形OMPN中，ON=PM，
设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，
∵∠PCN=∠ABO，∠PNC=∠AOB=90°．
∴△PNC∽△AOB，
∴，即．
解得x=．
又由△PNC∽△AOB，得，
∴PN=．
∴满足条件的P点的坐标为（，）．
分析：（1）连接DE，由等腰梯形的对称性可知，△CDE≌△BAO，根据线段的等量关系求C，D两点的坐标；
（2）连接O₁E，由半径O₁E=O₁C，得∠O₁EC=∠O₁CE，由等腰梯形的性质，得∠ABC=∠DCB，故∠O₁EC=∠ABC，可证O₁E∥AB，由EF⊥AB，证明O₁E⊥EF即可；
（3）存在．过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，由PC=PM，可知四边形OMPN为正方形，设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，由△PNC∽△AOB，由相似比，列方程求解．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰梯形的性质，圆周角定理，切线的判定与性质．关键是根据等腰梯形的性质，作辅助线，利用相似三角形的性质求解．