Question

（2004•石景山区模拟）已知：如图，BC是半圆O的直径，D、E是半圆O上两点，，CE的延长线与BD的延长线交于点A，过点E作EF⊥BC于点F，交CD与点G．
（1）求证：AE=DE；
（2）若AE=，cot∠ABC=，求DG．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得到∠A=∠ADE，再根据等角对等边即可求得结论．
（2）连接BE，根据已知及相似三角形的判定得到△ECG∽△DCE，根据相似三角形的对应边成比例即可求得CG，DG的值．
解答：（1）证明：∵BC是半圆O直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵，
∴∠EDC=∠ECD．
∴∠A=∠ADE．
∴AE=DE．（3分）

（2）解：连接BE，
∵，
∴DE=EC．
∴AE=EC=2．
∵BC是半圆O直径，
∴∠BEC=90°即BE⊥AC．
∴BA=BC．
∵Rt△BDC中，cot∠ABC=，
设BD=3x，CD=4x，则BC=5x，
∴AB=BC=5x，AD=2x．
∵AE•AC=AD•AB，
∴=2x•5x．
解得：x=2，即CD=8．（6分）
∵EF⊥BC，
∴∠CEF+∠ECB=90°．
∵B，C，E，D四点共圆，
∴∠ADE=∠ECB．
又∵∠EDC+∠ADE=90°，
∴∠CEF=∠EDC．
∵∠DCE为公共角，
∴△ECG∽△DCE．
∴．
∴GC=．
∴DG=8-．（8分）
点评：本题考查圆周角定理，相似三角形的判定，直角三角形的性质等知识点的综合运用．