Question

如图，已知直线y=-

1

2

x+m分别与x、y轴交于点C、D，与反比例函数y=

6

x

的图象在第一象限内交于A、B两点，AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，EF=

5

，点P是x轴正半轴上一点，且∠APB为直角，则P点的坐标为

（3，0）或（5，0）

．

Answer 1

分析：设A的坐标是横坐标是a，B的横坐标是b，即可表示出A、B、E、F的坐标，根据A、B在一次函数的图象上，以及EF=

5

，即可列方程组求得a，b的值．若∠APB为直角，则P到AB的中点的距离应该等于AB的一半，据此设P的坐标是（c，0），列方程即可求得c的值．

解答：解：设A的坐标是横坐标是a，B的横坐标是b，代入y=

6

x

，可得A的坐标是：（a，

6

a

），B的坐标是（b，

6

b

）．
则E的坐标是（a，0），F的坐标是（0，

6

b

），根据题意得：

- 1 2 a+m= 6 a - 1 2 b+m= 6 b a2+( 6 b )2=( 5 )2

，
解得：

a=2 b=6 m=4

，
则A的坐标是（2，3），B的坐标是（6，1）．
则AB=

(6-2)2+(1-3)2

=2

5

，AB的中点的坐标是（4，2）．
设P的坐标是（c，0），则

(4-c)2+4

=

5

，
解得：c=3或5．
故P的坐标是（3，0）或（5，0）．
故答案是：（3，0）或（5，0）．

点评：本题是待定系数法求函数的解析式与直角三角形的判定的综合应用，正确求得A、B的坐标，理解当P到AB的中点的距离应该等于AB的一半时，∠APB是直角是关键．