题目内容
【题目】已知抛物线y=﹣
x2+bx+4与x轴相交于AB两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的表达式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，并求线段BC所在直线的函数表达式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为 
对称轴方程为：
；（2）点C的坐标为（0，4），直线BC的解析式为
；（3）存在点Q，使
为等腰三角形，点Q的坐标为：
．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或公式法
求出对称轴方程；
在抛物线解析式中，令
，可求出点C的坐标，令
，可求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式；
本问为存在型问题．若
为等腰三角形，则有三种可能的情况，需要分类讨论，逐一计算．
试题解析：
∵抛物线
的图象经过点A（-2，0），
，解得
∴抛物线解析式为 
又∵
∴对称轴方程为：
（2）在中，令
，得
，∴C（0，4）；令
，即
，整理得
解得：
∴A（-2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为
，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：
，解得
，直线BC的解析式为
（3）∵抛物线的对称轴方程为：
可设点Q（3，t），则可求得：
①当
时，有
解得
∴
②当
时，有
此方程无实数根，∴此时不能构成等腰三角形；当
时，有
解得：
∴点Q坐标为：
．综上所述，存在点Q，使为等腰三角形，点Q的坐标为：．
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