题目内容

已知Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，OD⊥BC于D，以OD为半径的⊙O交AB、AC分别于E、F．
（1）求证： $数学公式$ = $数学公式$ ；
（2）若AC=8，CD=4，求CF的长．

（1）证明：连接OF，则∠A= $\text{[math]}$ ∠EOF（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
∵∠C=90°，OD⊥BC于D，
∴OD∥AC，
∴∠A=∠EOD，
∴∠FOD=∠EOF-∠EOD=∠A，
∴∠EOD=∠FOD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）解：过点O作OG⊥AC，则四边形ODCG是矩形，

∴CG=OD，OG=CD=4，
设圆的半径是r，
∴AG=AC-CG=8-r，
在Rt△AOG中，AO²=OG²+AG²，
即r²=4²+（8-r）²，
解得r=5，
∴AG=8-5=3，
又∵OG⊥AC，
∴GF=AG=3（垂径定理），
∴CF=CG-FG=r-3=5-3=2．
故答案为：2．
分析：（1）连接OF，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠A= $\text{[math]}$ ∠EOF，再根据两直线平行，同位角相等∠EOD=∠A，所以可以证明∠EOD=∠FOD，再根据同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等即可证明；
（2）过点O作OG⊥AC，先证明四边形ODCG是矩形，所以CG=OD，即CD的长等于圆的半径，又AG=AC-CG，所以在Rt△AOG中利用勾股定理列式即可求出圆的半径的长度，再求出AG，根据垂径定理AG=FG，则CF的长易求．
点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系，切线的性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握各定理是解题的关键．