Question

如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC中点．F是BD上的一个动点（F与B、D不重合）
（1）求证：△AFB≌△CFB；
（2）设折线EFC的长为m，求m的最小值，并说明点F此时的位置．

Answer 1

分析：（1）AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，BF=BF，SAS可证△AFB≌△CFB；
（2）AF=FC，EFC的长=EF+CF=EF+AF，当A，F，E在一条直线时m取得最小值．

解答：（1）证明：在△AFB与△CFB中，AB=BC，BF=BF，∠ABD=∠CBD=45°
∴△AFB≌△CFB（5分）

（2）解：∵△AFB≌△CFB
∴AF=FC（1分）
∴m=EF+CF=EF+AF
仅当A，F，E在一条直线时m取得最小值（4分）
此时连接AE交BD于F，有AE=

5

（1分）
故m的最小值为

5

此时F是AE与BD的交点．（1分）

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质，SAS证明△AFB≌△CFB．求m的最小值，用到两点之间线段最短．