Question

如图，四边形ABCD是正方形，点N是CD的中点，M是AD边上不同于点A、D的点，若

AM

BM

=

10

10

，求证：∠NMB=∠MBC．

Answer 1

分析：分别延长BC、MN相交于点E，设AM=1，根据

AM

BM

=

10

10

，求出BM=

10

，则AB=

BM2-AM2

=3；所以DM=AD-AM=2，利用Rt△DMN可求得，MN=

5

2

，根据△MDN≌△ECN（ASA），可求得CE=MD=2、NE=MN=

5

2

，ME=MN+NE=5、BE=BC+CE=5，所以ME=BE即∠NMB=∠MBC．

解答：证明：证法一：如图，
分别延长BC、MN相交于点E，
设AM=1，
∵

AM

BM

=

10

10

，
∴BM=

10

，
∴AB=

BM2-AM2

=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DM=AD-AM=2，且DN=CN=

1

2

DC=

3

2

，
在Rt△DMN中，MN=

MD2+DN2

=

5

2

，
又∵∠MDN=∠ECN=90°，∠MND=∠ENC，
∴△MDN≌△ECN（ASA），
∴CE=MD=2，NE=MN=

5

2

，
∴ME=MN+NE=5，BE=BC+CE=5，
∴ME=BE，
∴∠NMB=∠MBC；

证法二：设AM=1，同证法一MN=

MD2+DN2

=

5

2

；
如图，
将△ABM绕点A顺时针旋转90°得到△BCE，连接ME，
∵∠BCE=∠BCD=90°，
∴∠NCE是平角，即点N、C、E三点共线，
∴∠BMA=∠BECCE=AM=1、BE=BM，
∴∠BME=∠BEM，
∵NE=CN+CE=

3

2

+1=

5

2

=MN，
∴∠NME=∠NEM，
∴∠BME+∠NME=∠BEM+∠NEM，
∴∠BMN=∠BEC=∠AMB，
又∵∠AMB=∠MBC，
∴∠BMN=∠MBC．

点评：主要考查了正方形的性质和利用等腰三角形的性质来求证等角的方法．要掌握正方形中一些特殊的性质：四边相等，四角相等，对角线相等且互相平分．分别求出BE，ME的长度是解题的关键．