Question

平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF．求证：∠DPA=∠DPC．（初二）

Answer 1

分析：过D作DQ⊥AE，DG⊥CF，由S_△ADE=

S平行四边形ABCD

2

=S_△DFC，可得：

AE•PQ

2

=

AE•PQ

2

，又∵AE=FC，可得DQ=DG，可得∠DPA=∠DPC（角平分线逆定理）．

解答：证明：过D作DQ⊥AE，DG⊥CF，并连接DF和DE，如右图所示：
则S_△ADE=

S平行四边形ABCD

2

=S_△DFC，
∴

AE•DQ

2

=

DG•FC

2

，
又∵AE=FC，
∴DQ=DG，
∴PD为∠APC的角平分线，
∴∠DPA=∠DPC（角平分线逆定理）．

点评：本题考查平行四边形和角平分线的性质，有一定难度，解题关键是准确作出辅助线，利用角平分线的性质进行证明．