题目内容
设a为整数，使得关于x的方程ax2-（a+5）x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根．
【答案】分析：首先从特殊值入手，a=0，求出x的值，再利用求根公式确定a的取值，从而确定x的取值．
解答：解：当a=0时，方程的有理根为
；
当a≠0时，此时原方程为一元二次方程，
由判别式（a+5）2-4a（a+7）≥0，
即3a2+18a-25≤0，得
，整数a只能在其中的非零整数1，-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7中取值
由方程得
（1）
当a=1，由（1）得x=2和4；当a=-1时，方程无有理根；
当a=-2，由（1）得x=1和-
；当a=-3时，方程无有理根；
当a=-4，由（1）得x=-1和
；当a=-5时，方程无有理根；
当a=-6，由（1）得x=
和-
；当a=-7时，由（1）得x=
和
．
点评：此题主要考查了一元二次方程整数解的情况，以及分类讨论思想的应用．
解答：解：当a=0时，方程的有理根为
；当a≠0时，此时原方程为一元二次方程，
由判别式（a+5）2-4a（a+7）≥0，
即3a2+18a-25≤0，得
，整数a只能在其中的非零整数1，-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7中取值由方程得
（1）当a=1，由（1）得x=2和4；当a=-1时，方程无有理根；
当a=-2，由（1）得x=1和-
；当a=-3时，方程无有理根；当a=-4，由（1）得x=-1和
；当a=-5时，方程无有理根；当a=-6，由（1）得x=
和-；当a=-7时，由（1）得x=和．点评：此题主要考查了一元二次方程整数解的情况，以及分类讨论思想的应用．
练习册系列答案
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探索、研究：下图是按照一定的规律画出的一列“树型”图，下表的n表示“树型”图的序号，an表示第n个“树型”图中“树枝”的个数．
图：
表：
（1）根据“图”、“表”可以归纳出an关于n的关系式为 ．
若直线l1经过点（a1，a2）、（a2，a3），求直线l1对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上．
（2）设直线l2：y=-x+4与x轴相交于点A，与直线l1相交于点M，双曲线y=
（x＞0）经过点M，且与直线l2相交于另一点N．
①求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线l1、l2．
②设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为t，直线MP与x轴相交于点Q，当t为何值时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面积等于1？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
③在y轴上是否存在点G，使得△GMN的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
图：
表：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| an | 1 | 3 | 7 | 15 | … |
若直线l1经过点（a1，a2）、（a2，a3），求直线l1对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上．
（2）设直线l2：y=-x+4与x轴相交于点A，与直线l1相交于点M，双曲线y=
| k |
| x |
①求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线l1、l2．
②设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为t，直线MP与x轴相交于点Q，当t为何值时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面积等于1？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
③在y轴上是否存在点G，使得△GMN的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．