Question

已知一次函数y=

3

4

x+m的图象分别交x轴、y轴于A、B两点（如图），且与反比例函数y=

24

x

的图象在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D．
（1）求m、n的值；
（2）如果点P在x轴上，并在点A与点D之间，点Q在线段AC上，且AP=CQ，那么当△APQ与△ADC相似时，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）把C点坐标代入反比例函数解析式求出n，得C点坐标，再代入一次函数解析式求m；
（2）根据△APQ∽△ADC，然后相似比求解．

解答：解：（1）∵点C（4，n）在y=

24

x

的图象上，
∴n=6，
∴C（4，6）（1分）
∵点C（4，6）在y=

3

4

x+m的图象上，
∴m=3（1分）

（2）∵当x=0时，y=3；当y=0时，x=-4．所以y=

3

4

x+3与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B（0，3）（2分）
设AP=CQ=t，
∵C（4，6），CD⊥x轴，
∴AD=8，CD=6，
∴AC=10，
∴AQ=10-t，
∵△APQ与△ADC相似，且∠A=∠A，
∴

AP

AQ

=

AD

AC

或

AP

AQ

=

AC

AD

，即

t

10-t

=

8

10

或

t

10-t

=

10

8

（2分）
∴t=

40

9

或t=

50

9

（2分）
∵点Q在直线y=

3

4

x+3上，
∴设Q(x，

3

4

x+3)（-4＜t＜4）（1分）
作QH⊥x轴，则AH=x+4
∵QH∥CD，
∴

AH

AD

=

AQ

AC

，即

x+4

8

=

10-t

10

（1分）
当t=

40

9

时，

x+4

8

=

10- 40 9

10

，解得：x=

4

9

，Q(

4

9

，

10

3

)（1分）
当t=

50

9

时，

x+4

8

=

10- 50 9

10

，解得：x=-

4

9

，Q(-

4

9

，

8

3

)（1分）．
综上所述，Q点的坐标为Q（

4

9

，

10

3

）、（-

4

9

，

8

3

）．

点评：此题的相似没有注明对应关系，所以必须分类讨论．分类讨论检查学生思维的严密性．