题目内容

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长．

解：连接AF．
∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC，
∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°．
又∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4．
设CF=x，则AF=x，BF=4-x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC²=BC²+AB²=5²，且O为AC中点，
∴AC=5，OC= $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ ．
∵AB²+BF²=AF²
∴3²+（4-x）²=x²
∴x= $\text{[math]}$ ．
∵∠FOC=90°，
∴OF²=FC²-OC²=（ $\text{[math]}$ ）²-（ $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²
∴OF= $\text{[math]}$ ．
同理OE= $\text{[math]}$ ．
即EF=OE+OF= $\text{[math]}$ ．
分析：先连接AF，由于矩形关于EF折叠，所以EF垂直平分AC，那么就有AF=CF，又ABCD是矩形，那么AB=CD，AD=BC，在Rt△ABF中，（设CF=x），利用勾股定理可求出CF= $\text{[math]}$ ，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC=5，在Rt△COF中再利用勾股定理可求出OF= $\text{[math]}$ ，同理可求OE= $\text{[math]}$ ，所以EF=OE+OF= $\text{[math]}$ ．
点评：本题利用了折叠的对应点关于折痕垂直平分，以及矩形性质，勾股定理等知识．