Question

等边三角形ABC的边AB在直线l上，动点D也在直线l上（不与A，B点重合），△ADE为等边三角形．
（1）如图①，当点D在线段BA的延长线上且△ADE与△ABC在直线l的同侧时，试猜想线段BE与CD的大小关系为______
（2）如图②，当点D在线段BA上且ADE与ABC在直线l异测时，（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明结论发生了怎样的变化；若成立，说明理由，并求出此时线段BE与CD所在直线的夹角α（0°＜α＜90°）
（3）当点D在线段AB的延长线上且△ADE与△ABC仍然在直线l的异测时，试在图中画③出相应的图形，并直接判断此时BE与CD的关系（不必说明理由）．

Answer 1

解：（1）BE=CD
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=BC=AC，AD=DE=AE，∠ABC=∠BCA=∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°．
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD，
∴BE=CD．
故答案为：BE=CD．
（2）（1）中的结论仍然成立，BE=CD．
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=BC=AC，AD=DE=AE，∠ABC=∠BCA=∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°．
在△BAE和△CAD中，

∴△BAE≌△CAD，
∴BE=CD．∠ACD=∠ABE．
延长CD到F交BE于点F，
∴∠BCD+∠DBE=60°，
∴∠BFC=60°．
∴线段BE与CD所在直线的夹角α为60°．
（3）如图③BE=CD，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=BC=AC，AD=DE=AE，∠ABC=∠BCA=∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAE=∠DAC=120°．
在△BAE和△CAD中，
，
∴∴△BAE≌△CAD，
∴BE=CD．
分析：（1）如图①根据等边三角形的性质证明△BAE≌△CAD，就可以得出BE=CD；
（2）如图②根据等边三角形的性质证明△BAE≌△CAD，就可以得出BE=CD；
（3）如图③根据等边三角形的性质证明△BAE≌△CAD，就可以得出BE=CD；
点评：本题考查了等边三角形的性质及全能等三角形的判定及性质的运用，在解答过程中合理利用等边三角形的边角的性质是解答本题的关键．