Question

如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，并且与反比例函数y=

m

x

(m≠0)的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足是D，若OA=OB=OD=1；
（1）求：点A、B、C、D的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求△AOC的周长和面积．

Answer 1

分析：（1）由OA=OB=OD=1可直接得到点A、B、C、D的坐标；
（2）先利用待定系数法确定直线AB的解析式为y=x+1，由于CD垂直于x轴，垂足是D，则C点的横坐标为1，再把x=1代入y=x+1得y=2，从而确定C点坐标为（1，2），然后再利用待定系数法确定反比例函数的解析式；
（3）利用勾股定理分别计算出AC和OC，然后根据三角形的周长与面积公式分别计算△AOC的周长和面积．

解答：解：（1）∵OA=OB=OD=1，
∴点A坐标为（-1，0），点B坐标为（0，1），点C坐标为（1，2）；点D的坐标为（1，0）．

（2）设直线AB的解析式为y=ax+b，
把A（-1，0），B（0，1）代入得

-a+b=0 b=1

，
解得

a=1 b=1

，
∴直线AB的解析式为y=x+1，
∵CD垂直于x轴，垂足是D，
∴C点的横坐标为1，
把x=1代入y=x+1得y=2，
∴C点坐标为（1，2），
设反比例函数的解析式为y=

k

x

，
把C（1，2）代入得k=1×2=2，
故反比例函数的解析式为y=

2

x

；

（3）∵在Rt△ACD中，AD=2，CD=2，
∴AC=

22+22

=2

2

，
∵在Rt△OCD中，OD=1，CD=2，
∴OC=

12+22

=

5

，
∴△AOC的周长=OA+OC+AC=1+

5

+2

2

；
△AOC的面积=

1

2

OA•CD=

1

2

×1×2=1．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两个函数的解析式；待定系数法是确定函数关系式常用的方法．也考查了勾股定理．