题目内容
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是（ ）；此时
=（ ）；
（2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM?DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（ ）（用x、L表示）．
=（ ）；（2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM?DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（ ）（用x、L表示）．
解：（1）如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．此时 ．（2）猜想：结论仍然成立． 证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE． ∵BD=CD，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30°． 又△ABC是等边三角形， ∴∠MBD=∠NCD=90°． 在△MBD与△ECD中：  ∴△MBD≌△ECD（SAS）． ∴DM=DE，∠BDM=∠CDE． ∴∠EDN=∠BDC﹣∠MDN=60°． 在△MDN与△EDN中：  ，∴△MDN≌△EDN（SAS）． ∴MN=NE=NC+BM． △AMN的周长Q =AM+AN+MN =AM+AN+（NC+BM） =（AM+BM）+（AN+NC） =AB+AC =2AB． 而等边△ABC的周长L=3AB． ∴  ．（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x， 则Q=2x+  （用x、L表示）． |
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