Question

在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是

 

； 此时

Q

L

=

 

；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．

Answer 1

分析：（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD=BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN，此时

Q

L

=

2

3

；
（2）在CN的延长线上截取CM₁=BM，连接DM₁．可证△DBM≌△DCM₁，即可得DM=DM₁，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN≌△M₁DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；
（3）首先在CN上截取CM₁=BM，连接DM₁，可证△DBM≌△DCM₁，即可得DM=DM₁，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN≌△M₁DN，则可得NC-BM=MN．

解答：解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN．
此时 

Q

L

=

2

3

． （2分）．
理由：∵DM=DN，∠MDN=60°，
∴△MDN是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BDC=∠DCB=30°，
∴∠MBD=∠NCD=90°，
∵DM=DN，BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，
∴DM=2BM，DN=2CN，
∴MN=2BM=2CN=BM+CN；
∴AM=AN，
∴△AMN是等边三角形，
∵AB=AM+BM，
∴AM：AB=2：3，
∴

Q

L

=

2

3

；

（2）猜想：结论仍然成立． （3分）．
证明：在CN的延长线上截取CM₁=BM，连接DM₁．（4分）
∵∠MBD=∠M₁CD=90°，BD=CD，
∴△DBM≌△DCM₁，
∴DM=DM₁，∠MBD=∠M₁CD，M₁C=BM，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠M₁DN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M₁DN，
∴MN=M₁N=M₁C+NC=BM+NC，
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，
∴

Q

L

=

2

3

；

（3）证明：在CN上截取CM₁=BM，连接DM₁．（4分）
可证△DBM≌△DCM₁，
∴DM=DM₁，（5分）
可证∠M₁DN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M₁DN，
∴MN=M₁N，（7分）．
∴NC-BM=MN．（8分）．

点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．