题目内容
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是
Q | L |
(2)如图2,点M、N在边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想( I)问的两个结论还成立吗?若成立请直接写出你的结论;若不成立请说明理由.
(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,探索BM、NC、MN之间的数量关系如何?并给出证明.
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分析:(1)由DM=DN,∠MDN=60°,可证得△MDN是等边三角形,又由△ABC是等边三角形,CD=BD,易证得Rt△BDM≌Rt△CDN,然后由直角三角形的性质,即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN,此时
=
;
(2)在CN的延长线上截取CM1=BM,连接DM1.可证△DBM≌△DCM1,即可得DM=DM1,易证得∠CDN=∠MDN=60°,则可证得△MDN≌△M1DN,然后由全等三角形的性质,即可得结论仍然成立;
(3)首先在CN上截取CM1=BM,连接DM1,可证△DBM≌△DCM1,即可得DM=DM1,然后证得∠CDN=∠MDN=60°,易证得△MDN≌△M1DN,则可得NC-BM=MN.
Q |
L |
2 |
3 |
(2)在CN的延长线上截取CM1=BM,连接DM1.可证△DBM≌△DCM1,即可得DM=DM1,易证得∠CDN=∠MDN=60°,则可证得△MDN≌△M1DN,然后由全等三角形的性质,即可得结论仍然成立;
(3)首先在CN上截取CM1=BM,连接DM1,可证△DBM≌△DCM1,即可得DM=DM1,然后证得∠CDN=∠MDN=60°,易证得△MDN≌△M1DN,则可得NC-BM=MN.
解答:解:(1)如图1,BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN.
此时
=
. (2分).
理由:∵DM=DN,∠MDN=60°,
∴△MDN是等边三角形,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∵BD=CD,∠BDC=120°,
∴∠BDC=∠DCB=30°,
∴∠MBD=∠NCD=90°,
∵DM=DN,BD=CD,
∴Rt△BDM≌Rt△CDN,
∴∠BDM=∠CDN=30°,BM=CN,
∴DM=2BM,DN=2CN,
∴MN=2BM=2CN=BM+CN;
∴AM=AN,
∴△AMN是等边三角形,
∵AB=AM+BM,
∴AM:AB=2:3,
∴
=
;
(2)猜想:结论仍然成立. (3分).
证明:在CN的延长线上截取CM1=BM,连接DM1.(4分)![精英家教网](http://thumb.zyjl.cn/pic3/upload/images/201112/68/ef31a3d4.png)
∵∠MBD=∠M1CD=90°,BD=CD,
∴△DBM≌△DCM1,
∴DM=DM1,∠MBD=∠M1CD,M1C=BM,
∵∠MDN=60°,∠BDC=120°,
∴∠M1DN=∠MDN=60°,
∴△MDN≌△M1DN,
∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC,
∴△AMN的周长为:AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,
∴
=
;
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(3)证明:在CN上截取CM1=BM,连接DM1.(4分)
可证△DBM≌△DCM1,
∴DM=DM1,(5分)
可证∠M1DN=∠MDN=60°,
∴△MDN≌△M1DN,
∴MN=M1N,(7分).
∴NC-BM=MN.(8分).
此时
Q |
L |
2 |
3 |
理由:∵DM=DN,∠MDN=60°,
∴△MDN是等边三角形,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∵BD=CD,∠BDC=120°,
∴∠BDC=∠DCB=30°,
∴∠MBD=∠NCD=90°,
∵DM=DN,BD=CD,
∴Rt△BDM≌Rt△CDN,
∴∠BDM=∠CDN=30°,BM=CN,
∴DM=2BM,DN=2CN,
∴MN=2BM=2CN=BM+CN;
∴AM=AN,
∴△AMN是等边三角形,
∵AB=AM+BM,
∴AM:AB=2:3,
∴
Q |
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(2)猜想:结论仍然成立. (3分).
证明:在CN的延长线上截取CM1=BM,连接DM1.(4分)
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∵∠MBD=∠M1CD=90°,BD=CD,
∴△DBM≌△DCM1,
∴DM=DM1,∠MBD=∠M1CD,M1C=BM,
∵∠MDN=60°,∠BDC=120°,
∴∠M1DN=∠MDN=60°,
∴△MDN≌△M1DN,
∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC,
∴△AMN的周长为:AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,
∴
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(3)证明:在CN上截取CM1=BM,连接DM1.(4分)
可证△DBM≌△DCM1,
∴DM=DM1,(5分)
可证∠M1DN=∠MDN=60°,
∴△MDN≌△M1DN,
∴MN=M1N,(7分).
∴NC-BM=MN.(8分).
点评:此题考查了等边三角形,直角三角形,等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.
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