Question

如图，已知直线y=

1

2

x+

7

2

与x轴、y轴分别相交于B、A两点，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B两点，且对称轴为直线x=-3．
（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；
（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O运动．过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P运动的时间为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，s取得最大值？
（3）设抛物线的对称轴CD与直线AB相交于点D，顶点为C．问：在（2）条件不变情况下，是否存在一个t值，使四边形CDMN是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出AB两点的坐标，再用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）根据题意可求得点P的横坐标，再代入抛物线即可得出纵坐标，再由MN的长度即可表示出s与t之间的函数关系式；
（3）先假设存在，把x=-3代入，得出C、D的纵坐标，再由|MN|=6，即-

1

2

t2+

7

2

t=6，求出t，使四边形CDMN是平行四边形．

解答：解：（1）对于y=

1

2

x+

7

2

，
当x=0时，y=

7

2

；令y=0，x=-7，
所以A（0，

7

2

），B（-7，0），（2分）（各1分）
依题意得：

c= 7 2 49a-7b+ 7 2 =0 - b 2a =-3

，
解得：a=-

1

2

，b=-3，c=

7

2

，
抛物线的解析式是y=-

1

2

x2-3x+

7

2

；

（2）依题意得：点P的横坐标是（t-7），
把x=（t-7）代入，得M、N的纵坐标：yM=

1

2

(t-7)+

7

2

=

1

2

tyN=-

1

2

(t-7)2-3(t-7)+

7

2

=-

1

2

t2+4t，
∴s=y_N-y_M=-

1

2

t2+

7

2

t，
当t=-

7 2

2×(- 1 2 )

，
即t=

7

2

时，s取得最大值．

（3）存在．理由是：
把x=-3代入，得C、D的纵坐标：y_C=8，y_D=2，
∴|CD|=6，
令|MN|=6，有-

1

2

t2+

7

2

t=6，t₁=3，t₂=4，
当t₂=4时，MN与CD重合，舍去；
当t=3时，MN∥CD且MN=CD，故四边形CDMN是平行四边形．

点评：此题是一道二次函数的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，最值问题以及动点问题，是中考压轴题，难度较大．