题目内容

如图，直线l₁：y=x+1与直线l₂： $数学公式$ 相交于点P（-1，0）．直线l₁与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₁处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l₁上的点A₁处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₂处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l₁上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B₁，A₁，B₂，A₂，B₃，A₃，…，B_n，A_n，…
则当动点C到达A_n处时，运动的总路径的长为

A.
n²
B.
2ⁿ-1
C.
2^n-1+1
D.
2ⁿ⁺¹-2

D
分析：由直线直线l₁：y=x+1可知，A（0，1），则B₁纵坐标为1，代入直线l₂：y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 中，得B₁（1，1），又A₁、B₁横坐标相等，可得A₁（1，2），则AB₁=1，A₁B₁=2-1=1，可判断△AA₁B₁为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得△A₁A₂B₂、△A₂A₃B₃、…、都是等腰直角三角形，根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l₁、l₂的解析式，分别求AB₁+A₁B₁，A₁B₂+A₂B₂的长，得出一般规律．
解答：由直线直线l₁：y=x+1可知，A（0，1），根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l₁、l₂的解析式可知，B₁（1，1），AB₁=1，
A₁（1，2），A₁B₁=2-1=1，AB₁+A₁B₁=2，
B₂（3，2），A₂（3，4），A₁B₂=3-1=2，A₂B₂=4-2=2，A₁B₂+A₂B₂=2+2=4=2²，
…，
由此可得A_n-1B_n+A_nB_n=2ⁿ，
所以，当动点C到达A_n处时，运动的总路径的长为2+2²+2³+..+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2，
故选D．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律．