Question

（2013•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E、D是切点，∠BOC=105°．求AE的长．

Answer 1

分析：首先根据切线长的性质以及切线的性质得出BD的长，进而得出BC的长以及AB的长，即可得出AE的长．

解答：解：连接OD、OE．
则OD=OE=1，
∵O是△ABC的内切圆圆心
∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
即∠OBD=∠OBE=

1

2

∠ABC且∠OCD=

1

2

∠ACB
又∵∠ACB=90°，∴∠OCD=

1

2

∠ACB=45°，
∵OD、OE是过切点的半径，
∴OD⊥BC 且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，
∴∠COD=∠OCD=45°，∴OD=CD=1，
∵∠COB=105°，∴∠DOB=∠COB-∠COD=60°，
在Rt△OBD中，
tan∠BOD=

DB

OD

=

DB

1

=

3

，
∴DB=

3

，
∠OBD+∠BOD=90°，∴∠OBD=30°，
∵∠DOB=∠OBE=

1

2

∠ABC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴BC=BD+CD=1+

3

在Rt△ABC中，
AB=2+2

3

，
在Rt△OBE中，
∵OE=1，∠OBE=30°，
∴BE=

1

tan30°

=

3

，
∴AE=2+

3

．

点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数的应用，正确得出∠ABC的度数以及BC的长是解题关键．