Question

如图，在△ABC中，点D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB为直径的交AC于点E，F是上的点，且AF＝BF．

（1）求证：BC是的切线；

（2）若sinC=，AE=，求sinF的值和AF的长．

【解析】（1）AB是直径．证明AB⊥BC即可．

（2）连接BE，证得∠AFE＝∠C. 即可求出sinF的值，连接BF，通过解直角三角形ABE求得BF，即可

 

Answer 1

（1）证明：∵DA=DB，

∴∠DAB=∠DBA.

又∵∠C=∠DBC，

∴∠DBA﹢∠DBC＝.

∴AB⊥BC.

又∵AB是的直径，

∴BC是的切线. ……………………………………2分

（2）解：如图，连接BE，

∵AB是的直径，

∴∠AEB＝90°.

∴∠EBC＋∠C＝90°.

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABE＋∠EBC＝90°.

∴∠C＝∠ABE.

又∵∠AFE＝∠ABE，

∴∠AFE＝∠C.

∴sin∠AFE＝sin∠ABE＝sinC.

∴sin∠AFE＝.  ………………………………3分

连接BF，

∴.

在Rt△ABE中，.  …………………4分

∵AF＝BF，

∴.……………………………………5分