题目内容

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，点P从A出发向C以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．
（1）几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的 $数学公式$ ？
（2）填空：①点经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上．
②点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．

解；（1）设经过x秒．
在Rt△ABC中， $\text{[math]}$
根据题意得；
当x≤6时， $\text{[math]}$ （8-x）x= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×8×6
解得： $\text{[math]}$
当6＜x≤8时， $\text{[math]}$ （8-x）×6=37
解得：x=7
答：经过7秒或 $\text{[math]}$ 秒．
（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，PA=PB，
∵设经过x秒后点P在线段AB的垂直平分线上，
∴x²=（8-x）²+6²解得：x= $\text{[math]}$ ，
∴经过 $\text{[math]}$ 秒，点P在线段AB的垂直平分线上
②如图，作QD⊥AB于点D，
∵点Q在∠BAC的平分线上，
∴QD=QC，
设经过x秒，
则CQ=x，则QD= $\text{[math]}$ （6-x），
∴x= $\text{[math]}$ （6-x），解得：x= $\text{[math]}$

，
∴点Q经过 $\text{[math]}$ 秒，点Q在∠BAC的平分线上．
分析：（1）设经过x秒，首先求得线段BC的长，然后分x≤6和6＜x≤8两种情况列方程求解即可；
（2）①点P在线段AB的垂直平分线上，即可得到PA=PB，从而求得时间；
②点Q在∠BAC的平分线上，则Q点到AC和AB的距离相等．
点评：本题考查了一元二次方程、角平分线的性质、垂直平分线的性质及勾股定理的知识，解题的关键是根据相关性质设出未知数并列出方程．