Question

如图，已知抛物线P：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

x	…	-3	-2	1	2	…
y	…	- 5 2	-4	- 5 2	0	…

（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先从表格中取抛物线P上的任意三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后再求抛物线与坐标轴的交点坐标．
（2）欲求矩形DEFG的面积，需求出两条邻边的长，在相似三角形△ADG和△AOC中，OA、OC长已知，AD、OD可由m表达出来，利用对应边成比例即可求出DG的长；同理，在相似三角形△BEF和△BOC中可求出BE的长，那么由AB-BE-AD即可求出DE的长，长×宽即可得到关于S、m的函数关系式，而m的取值范围可由G点的位置（G在线段AC上，即D在线段OA上，但不与O、A重合）得出．

解答：解：（1）抛物线P：y=ax²+bx+c（a≠0），任取x，y的三组值代入，得：

9a-3b+c=- 5 2 4a-2b+c=-4 a+b+c=- 5 2

，
解得

a= 1 2 b=1 c=-4

故抛物线P：y=

1

2

x²+x-4；
令y=0，得：x₁=-4，x₂=2；
令x=0，得：y=-4；
则A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．

（2）∵DG∥OC，
∴△ADG∽△AOC，
∴

AD

AO

=

DG

OC

其中，AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m；
又∵

BE

BO

=

EF

OC

，EF=DG，得BE=4-2m，
∴DE=3m，
∴S_矩形DEFG=DG•DE=（4-2m）•3m=12m-6m²（0＜m＜2）．

点评：此题主要考查的是利用待定系数法求函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质以及矩形面积的求法；（2）题在确定m的取值范围时，一定要考虑到形成矩形的条件，即边不能为0．